Aljabar operator verteks

Dalam matematika, aljabar operator verteks (AOV) adalah struktur aljabar yang berperan penting dalam teori medan konformal dua dimensi dan teori string. Selain aplikasi fisik, aljabar operator verteks telah terbukti berguna dalam konteks matematika murni seperti monstrous moonshine dan korespondensi geometris Langlands.

Gagasan terkait verteks aljabar diperkenalkan oleh Richard Borcherds pada tahun 1986, dimotivasi oleh konstruksi aljabar Lie berdimensi-tak terbatas karena Igor Frenkel. Dalam proses konstruksi ini, seseorang menggunakan Fock space yang mengakui aksi operator simpul yang dilampirkan ke vektor kisi. Borcherds merumuskan pengertian aljabar puncak dengan melakukan aksioma hubungan antara operator simpul kisi, menghasilkan struktur aljabar yang memungkinkan seseorang untuk membangun aljabar Lie baru dengan mengikuti metode Frenkel.

Gagasan aljabar operator verteks diperkenalkan sebagai modifikasi dari pengertian aljabar verteks, oleh Frenkel, James Lepowsky, dan Arne Meurman pada tahun 1988, sebagai bagian dari proyek mereka untuk membangun aljabar monster verteks. Mereka mengamati bahwa banyak aljabar puncak yang muncul di alam memiliki struktur tambahan yang berguna (suatu aksi dari aljabar Virasoro), dan memenuhi sifat terikat-di bawah sehubungan dengan energi. Termotivasi oleh pengamatan ini, mereka menambahkan tindakan Virasoro dan properti terikat di bawah sebagai aksioma.

Kami sekarang memiliki motivasi post-hoc untuk gagasan ini dari fisika, bersama dengan beberapa interpretasi aksioma yang pada awalnya tidak diketahui. Secara fisik, operator simpul yang timbul dari penyisipan medan holomorfik pada titik-titik (yaitu, simpul) dalam teori medan konformal dua dimensi mengakui ekspansi produk operator ketika penyisipan, dan ini memenuhi secara tepat hubungan yang ditentukan dalam definisi aljabar operator titik. Memang, aksioma aljabar operator verteks adalah interpretasi aljabar formal dari apa yang oleh fisikawan disebut aljabar kiral, atau "aljabar simetris kiral", di mana kesimetrian ini menggambarkan identitas Lingkungan yang dipenuhi oleh teori medan konformal tertentu, termasuk invariansi konformal. Formulasi lain dari aksioma aljabar verteks termasuk karya Borcherds selanjutnya pada gelanggang komutatif tunggal, aljabar di atas operad tertentu pada kurva yang diperkenalkan oleh Huang, Kriz, dan lainnya, dan D-modul, objek teoretis yang disebut aljabar kiral yang diperkenalkan oleh Alexander Beilinson dan Vladimir Drinfeld. Meskipun berkerabat, aljabar kiral ini tidak persis sama dengan benda-benda dengan nama yang sama yang digunakan fisikawan.

Contoh dasar penting dari aljabar operator verteks termasuk AOV kisi (teori bidang konformal kisi pemodelan), VOA diberikan oleh representasi affine Kac – Moody aljabar s (dari WZW model), Virasoro VOA (yaitu, VOA terkait dengan representasi Virasoro aljabar) dan modul moonshine V^♮, yang dibedakan dari simetri monsternya. Contoh yang lebih canggih seperti affine W-aljabar s dan kompleks kiral de Rham pada lipatan kompleks muncul dalam teori representasi geometris dan fisika matematika.